Group Theory
群是任意数学对象（字母、数字、函数、矩阵等）组成的集合再加上一种运算，满足以下四条性质。
- Closure（封闭性）：$a\circ b=c$。集合中的任意两个元素运算仍在集合中。
- Associativity（结合性）：$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。
- Indentity/Neutral（单位元/中性元）：$a\circ e=a$。
- Inverse（逆元）：$a\circ a^{-1}=e$。群中的每个元素都存在逆元。
Integers：整数集$\mathbb{Z}$上的加法运算构成了一个群。单位元为 0，相反数即为逆元；
Rationals：有理数集$\mathbb{Q}/0$上的乘法运算也构成了一个群。单位元为 1，倒数即为逆元。
你可能意识到有理数集上的加法运算也构成一个群，所以我们有符号$Q^+$和$Q^×$。
一个群中的元素个数称为群的阶，$|Z|=|Q^+|=|Q^×|=\infty$。
由于——
$$
e_L\circ x=x,\ e_L\circ e_R=e_R\ \ \ (*);\
x\circ e_R=x,\ e_L\circ e_R=e_L\ \ \ (**);\
\therefore e_L=e_R\ \ \ \Box
$$
于是我们证明了Left Identity = Right Identity。
$$
\because (a^{-1})^{-1}=e\circ(a^{-1})^{-1}=a\circ (a^{-1}\circ (a^{-1})^{-1})=a\circ e=a
$$
$$
\therefore a^{-1}\circ a=a^{-1}\circ (a^{-1})^{-1}=e
$$
于是我们证明了Left Inverse = Right Inverse。
群论中有很多反证法的使用。例如
证明群中的单位元唯一：假设有$e_1$和$e_2$，则$e_1=e_1\circ e_2=e_2$。
证明群中元素的逆元唯一：假设有$a_1$和$a_2$，则$a_1=(a_2\circ a)\circ a_1=a_2\circ e=a_2$。
Finite Group
Cyclic
$\mathbb{Z}_n$表示$n$阶整数循环群，$|\mathbb{Z}_n|=n$。比如模 6 同余群$|\mathbb{Z}_6|=6$ 中仅有元素 0，1，2，3，4，5。
Dihedral Group：我们研究的数学对象是正多边形，这里我们选择正六边形。群中的元素是使六边形保持原位的变换空间的不同方法，即“旋转”和“翻转后旋转”。
此时 $|\mathbb{D}_6|=12$，其中有 0、60、20、180、240、300° 以及翻转后对应的 6 种旋转。所以 $|\mathbb{D}_n|=2n$。
给顶点涂涂颜色再看看？在六边形里写下字母D？
我们发现，Dihedral Group 不具备交换性，因为翻转和旋转的顺序决定了六边形的手性。
SubGroup
子群是群的一部分，并且其本身恰好是群。
例如：偶数集是整数集的子群，$\mathbb{D}_6$中的旋转本身也构成一个子群，$\mathbb{D}_3$也是$\mathbb{D}_6$的一个子群，而$\mathbb{Z}_9$中有0、3、6这个子群。
用元素$a$生成一个子群<$a$>：$a,a^2,a^3,…$。这只对有限群有效。比如将偶数群表示为2的生成子群时，我们对负偶数无能为力，为了使其成为子群，需要额外添加单位元和逆元。
Coset
整数群中，奇数集合可以由偶数群整体平移1得到，我们称这样的集合为陪集。一个群确实算作自身的陪集。
回忆一下$\mathbb{D}_6$，6个旋转方法构成一个子群，那么旋转后翻转，也就是<旋转>平移一个“翻转”的距离就构成了一个陪集。也可以把<旋转>平移一个旋转的距离，尽管这样做会把旋转子群内的元素打乱。
让我们继续这个游戏！<翻转>所生成的子群只有两个元素，翻转一次和翻转两次，显然翻转两次是中性元（什么也没做）。把翻转子群平移60度，就可以得到一个60度的旋转和一个300度旋转后翻转。
群和它的子群是高度对称的。
Lagrange’s Theorem
假设现在有个群，群里存在一个小的子群。子群所衍生出的陪集可以整齐地将整个群划分为大小一样的块。
这里有两点是 容易理解 的：
- 陪集一定覆盖了整个群：因为无论你想得到哪个元素，只需平移对应的差值即可。
- 所有的陪集大小相同：平移时显然不会增加元素，那会不会减少呢？假设减少，我们一定可以用逆元把它们平移回去，这样就会凭空增加元素。
下面有一点是不那么显然的：所有的陪集不会相互重合。
假如你平移了一个子群中的元素，由于封闭性，得到的元素一定在子群里。那假如你平移了一个不在子群中的元素，结果会不会出现在子群里呢？
例如子群中有$a、b$两个元素，而$z$不在子群中，且$z\circ a=b$，则$z=b\circ a^{-1}$，因为$b$和$a^{-1}$均在子群里，所以$z$也在子群中，这与假设矛盾！！
所以我们得到了一个二分论断：一个陪集要么与原来的子群完全不重合，要么它就是子群！
同理可证此二分论断不仅在子群和陪集间，在陪集和陪集间同样成立。
对于一个素数$p$阶群，它的子群只能拥有1个或p个元素，那么它一定是循环群！！！
o.0 可是拉格朗日（1736—1813）在群论诞生前就…
Group Theory
